선린 정올반 가을 교육 9차시 문제

선린 정올반(알고리즘 연구반) 가을 교육 9차시에 추가 문제로 주어진 문제입니다.

문제

정점 N(N <= 100,000)개로 구성된 트리가 주어진다.

A는 자신의 차례에 색깔이 칠해지지 않은 정점을 하나 골라서 빨간색으로 칠하고, B는 파란색으로 칠한다.
A가 먼저 시작하고, 각자 번갈아가면서 정점을 칠한다.
빨간 정점으로만 이루어진 컴포넌트의 개수를 CR, 파란 정점으로만 이루어진 컴포넌트의 개수를 CB라고 하자.
A는 (CR - CB)을 최대화하려고 하고, B는 (CR - CB)를 최소화하려고 한다.
A와 B 모두 항상 최선의 수를 둔다고 가정할 때, CR - CB의 값을 구해라.

아이디어

빨간색으로 칠해진 정점의 개수를 VR, 빨간색 정점 2개를 잇는 간선의 개수를 ER이라고 하면 빨간색 정점으로만 이루어진 컴포넌트의 개수는 VR - ER이다.
파란색도 마찬가지.

용어

  • CR : 빨간색 정점으로만 이루어진 컴포넌트의 개수
  • BR : 파란색 정점으로만 이루어진 컴포넌트의 개수
  • VR : 빨간색으로 칠해진 정점의 개수
  • VB : 파란색으로 칠해진 정점의 개수
  • ER : 빨간색 정점 2개를 잇는 간선의 개수
  • EB : 파란색 정점 2개를 잇는 간선의 개수
  • degree(v) : v와 이웃한 정점의 개수
  • degree_red(v) : v와 이웃한 빨간색 정점의 개수
  • degree_blue(v) : v와 이웃한 파란색 정점의 개수

풀이

CR - CB는 위에서 언급한 아이디어를 이용해 (VR - ER) - (VB - EB) = (VR - VB) - (ER - EB) 로 나타낼 수 있다.
N이 짝수라면 VR - VB은 항상 0이고, 홀수라면 항상 1이다.
VR - VB는 고정되어 있으므로, ER - EB의 값만 잘 만들어주면 된다.

(R = 빨간색으로 칠해진 정점 집합)
(B = 파란색으로 칠해진 정점 집합)

두 식을 더해주면 아래와 같은 식이 나온다.

당연히 은 0이다.
이 식을 2 × (ER - EB)에 더해줘도 값은 변하지 않는다.


는 빨간색 정점의 degree의 총합이고, 는 파란색 정점의 degree의 총합이다.
그러므로 이다.

이 작아질수록 (ER - EB)가 작아지기 때문에 (CR - CB)가 커지고,
가 작아질수록 (ER - EB)가 커지기 때문에 (CR - CB)가 작아진다.
결국 A와 B 모두 자신의 턴에 남은 정점 중에서 degree가 가장 작은 정점을 선택하는 것이 최선의 수다.