백준16214 N과 M

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문제 링크

  • http://icpc.me/16214

사용 알고리즘

  • 오일러 파이 함수

풀이

a와 m이 서로소라면 $a^n \equiv a^{n \mod \phi(m)} \mod m$입니다.
따라서 문제의 정답을 $f(n, m)$이라고 하면, n과 m이 서로소일 때 $f(n, m) \equiv n^{f(n, \phi(m))} \mod m$입니다.

서로소가 아닌 경우가 문제인데, n이 작은 경우에 naive하게 계산해주니 AC가 나왔습니다. 왜 되는지는 모르겠네요.

전체 코드

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#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
#define all(v) v.begin(), v.end()
#define compress(v) sort(all(v)), v.erase(unique(all(v)), v.end())
using namespace std;

typedef long long ll;

ll phi(ll n){
	ll ret = n;
	ll p = 2;
	while(p*p <= n){
		if(n%p == 0) ret = ret / p * (p - 1);
		while(n%p == 0) n /= p;
		p++;
	}
	if(n != 1) ret = ret / n * (n - 1);
	return ret;
}

ll pw(ll a, ll b, ll c){
	ll ret = 1;
	while(b){
		if(b & 1) ret = ret * a % c;
		b >>= 1; a = a * a % c;
	}
	return ret;
}

__int128_t pw(__int128_t a, __int128_t b){
	__int128_t ret = 1;
	while(b){
		if(b & 1) ret *= a;
		b >>= 1; a *= a;
	}
	return ret;
}

ll naive(__int128_t n, __int128_t m){
	ll prv = -1; ll real = n;
	for(int i=0; ; i++){
		n = pw(real, n);
		if(prv == n % m) return prv;
		prv = n % m;
	}
}

ll f(ll n, ll m){
	if(m == 1) return 1;
	if(n == 1) return 1;
	if(n <= 5) return naive(n, m);
	return pw(n, f(n, phi(m)) + phi(m), m);
}

void solve(){
	ll n, m; cin >> n >> m;
	cout << f(n, m) % m << "\n";
}

int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
    int t; cin >> t; while(t--) solve();
}