백준1517 버블 소트

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문제 링크

  • http://icpc.me/1517

사용 알고리즘

  • Merge Sort

시간복잡도

  • O(NlgN)

풀이

전형적인 inversion counting 문제입니다. N이 최대 50만이므로 naive하게 O(N^2)로 돌리면 TLE를 받게 됩니다.
합병 정렬을 이용해 풀 수 있습니다.


위에 섞인 수열, 아래에 정렬된 수열을 놓고 선으로 이었을 때의 교차점의 개수와 Bubble Sort의 swap횟수는 동일합니다. 이 점을 이용해 Merge Sort를 이용해 문제를 풀어봅시다.


이 두 개의 배열을 merge한다고 합시다.

이렇게 교차가 되면서 정렬됩니다. merge 과정에서 교차 횟수를 세는 것은 여러 가지 방법으로 구현이 가능합니다.

그 중 한 가지 방법은 cnt와 ans변수를 두고

  • 뒤에 있는 원소가 정렬된 상태를 저장하는 배열에 들어간 경우에 cnt를 1 증가시키고
  • 앞에 있는 원소가 정렬된 상태를 저장하는 배열에 들어간 경우에는 ans에 cnt를 더하는 방식

으로 구현을 하면 됩니다.

합병 정렬에서 일어나는 모든 merge에서의 교차 횟수 총 합이 정답이 되고, O(N log N)만에 구할 수 있습니다.

전체 코드

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
long long ans = 0;
int v[500010], tmp[500010];

void merge(int p, int q, int r){
	int idx = p;
	int i = p, j = q+1;
	int cnt = 0;
	while(i<=q | j<=r){
		if(i > q){
			tmp[idx++] = v[j++]; cnt++;
		}else if(j > r){
			tmp[idx++] = v[i++]; ans += (long long)cnt;
		}else if(v[i] <= v[j]){
			tmp[idx++] = v[i++]; ans += (long long)cnt;
		}else{
			tmp[idx++] = v[j++]; cnt++;
		}
	}
	for(i=p; i<=r; i++) v[i] = tmp[i];
}

void mergeSort(int p, int r){
	int q;
	if(p < r){
		q = (p+r)/2;
		mergeSort(p, q);
		mergeSort(q+1, r);
		merge(p, q, r);
	}
}

int main(){
	ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n;
	for(int i=0; i<n; i++){
		cin >> v[i];
	}
	mergeSort(0, n-1);
	cout << ans;
}