백준14866 산만한 고양이

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문제 링크

  • http://icpc.me/14866

문제 출처

  • 2017 KOI 중등부 4번

사용 알고리즘

  • DFS Tree

시간복잡도

  • $O(N+M)$

풀이

무방향 그래프에서의 사이클 유무는, dfs tree에서 back edge의 유무 여부와 같습니다. 그러므로 정점 하나를 지웠을 때 back edge가 없어지는 정점을 찾으면 됩니다.

3가지 정도의 케이스가 나오는데, 하나씩 분석해봅시다. 아래에서 언급하는 트리는 모두 dfs tree입니다.

  1. v의 자식을 루트로 하는 서브트리 내부에서 back edge가 존재한다면, v는 정답이 될 수 없습니다. v를 제거하더라도 back edge가 그대로 남아있습니다.
  2. 트리 상에서 v보다 밑에 있는 정점과 v보다 위에 있는 정점이 연결된 back edge가 2개 이상 존재한다면 v는 정답이 될 수 없습니다. v를 제거하면 하나는 tree edge가 되고, 나머지는 back edge가 됩니다.
  3. v를 루트로 하는 서브트리가 아닌, 다른 곳에 back edge가 존재한다면 v를 제거하더라도 back edge는 그대로 남아있습니다.

3가지 케이스를 잘 처리해주면 됩니다.

전체 코드

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m;

vector<int> g[303030], inp[303030];
int dep[303030];
int fu[303030]; //full : i를 루트로 하는 서브트리에 완전히 포함된 back edge 개수
int su[303030]; //sub : i를 루트로 하는 서브트리에 조금이라도 포함된 back edge 개수
int ab[303030]; //absolute : i의 부모와 연결된 back edge 개수

void dfs(int v, int p){
	for(auto i : inp[v]){
		if(i == p) continue;
		if(!dep[i]){ //tree edge
			g[v].push_back(i);
			dep[i] = dep[v] + 1;
			int t = fu[v]; dfs(i, v); ab[i] = fu[v] - t;
			fu[v] += fu[i]; su[v] += su[i];
		}else if(dep[i] < dep[v]){ //back edge
			fu[i]++; su[v]++;
		}
	}
}

int main(){
	ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
	cin >> n >> m;
	for(int i=0; i<m; i++){
		int s, e; cin >> s >> e;
		inp[s].push_back(e);
		inp[e].push_back(s);
	}
	dep[1] = 1; dfs(1, -1);

	long long ans = 0;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		int t = 1;
		for(auto ch : g[i]){
			//i의 부모보다 위로 이어지는 간선이 2개 이상인 경우 정점을 제거하면 tree edge와 back edge 모두 생성됨
			//fu[ch]가 0이 아니라면 서브트리 내부에 사이클 존재
			if(su[ch] - ab[ch] > 1 || fu[ch]) t = 0;
		}
		//0이 아니라면 i가 관여를 안 하는 곳에 back edge가 존재
		if(m-n+1-su[i]) t = 0;
		if(t) ans += i;
	}
	cout << ans;
}