AtCoder AGC 037 C번 Numbers on a Circle

문제 링크

https://atcoder.jp/contests/agc037/tasks/agc037_c

문제 출처

AtCoder AGC 037 C번

시간복잡도

$O(N log N log 10^9)$

풀이

$b$ 를 $a+b+c$ 로 바꾸는 연산을 거꾸로 생각하면 $b$ 를 $b-a-c$ 로 바꾸는 연산이 됩니다.
$b$ 를 $b-a-c$ 로 바꿔가면서 $B$ 를 $A$ 로 만들어주는 문제를 생각해봅시다.

$i$ 번째 원소에 연산을 적용하기 위해서는 $b > a + c and B_i > A_i$ 를 만족해야 합니다.
추가로, $b > a + c$ 를 만족한다면 $b$ 가 아닌 다른 곳에서 연산을 하더라도 a, b, c의 값은 절대 바뀌지 않습니다.

$B_i > A_i$ 를 만족하는 모든 $i$ 에 대해, $(B_i, i)$ 형태로 pair를 구성해서 pq에 들고 다닐 것입니다.
pq의 가장 위에 있는( $B_i$ 가 가장 큰) 원소에서 연산을 할 수 없다면 $A_i = B_i$ 로 만들 수 없으므로 -1을 출력하면 됩니다.
그렇지 않은 경우에는 $\lfloor B_i / (B_{i-1} + B_{i+1}) \rfloor$ 번의 연산을 통해 $B_i$ 를 $B_i$ % $(B_{i-1} + B_{i+1})$ 로 바꿔주면 됩니다.

$x > y$ 인 경우에는 $x$ % $y ≤ \frac{x}{2}$ 이므로, pq에서 원소를 꺼낼 때마다 $B_i$ 는 절반 이하로 줄어들게 됩니다.
그러므로 pq에서 삽입/삭제 연산을 $O(N log 1e9)$ 번 하고, 매 순간 pq에 있는 원소의 개수는 $N$ 개 이하이므로 $O(N log N log 10^9)$ 에 문제를 해결할 수 있습니다.

전체 코드

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> p;

int n, m;
int a[202020], b[202020];

int main(){
	ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
	cin >> n;
	for(int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
	for(int i=0; i<n; i++) cin >> b[i];

	priority_queue<p> pq;
	for(int i=0; i<n; i++) pq.push({b[i], i});

	long long ans = 0;
	while(pq.size()){
		int i = pq.top().second; pq.pop();
		int st =  b[(i+1)%n] + b[(i+n-1)%n];

		if((b[i] - a[i]) % st == 0){
			ans += (b[i] - a[i]) / st;
			b[i] = a[i];
			continue;
		}
		if(st >= b[i]){
			cout << -1; return 0;
		}

		ans += b[i] / st;
		b[i] %= st;
		if (b[i] < a[i]) {
			cout << -1; return 0;
		}
		pq.push({b[i], i});
	}
	cout << ans;
}