IOI2004 3번 민코프스키 합

문제 링크

  • http://icpc.me/2244

문제 출처

  • 2004년 국제 정보 올림피아드 4번

사용 알고리즘

  • Convex Hull

시간복잡도

  • O(NlgN)

풀이

임의의 두 점을 잇는 선분이 완전히 안쪽에 포함되며, 3개 이상의 꼭짓점으로 이루어져 있고, 세 점이 한 직선 위에 있는 경우는 없다고 조건이 주어져 있습니다.
조건을 만족하는 다각형 중 꼭짓점이 가장 적고, 면적이 가장 작은 것을 구해야 합니다.

임의의 두 점을 잇는 선분이 완전히 안쪽에 포함 이라는 조건에서 Convex Hull을 생각할 수 있고, 꼭짓점의 개수와 면적이 최소가 되어야 하니 Convex Hull이 정답임을 쉽게 알 수 있습니다.

점의 개수는 N*M <= 1,000,000개이므로 O(NlgN)만에 Convex Hull을 구해주면 됩니다.

전체 코드

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#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> p;

inline int ccw(p a, p b, p c){
	ll res = a.x*b.y + b.x*c.y + c.x*a.y;
	res -= b.x*a.y + c.x*b.y + a.x*c.y;
	if(res > 0) return 1;
	if(res) return -1;
	return 0;
}

inline ll dist(p a, p b){
	ll dx = a.x - b.x;
	ll dy = a.y - b.y;
	return dx*dx + dy*dy;
}

int n, m;
int ax[1010], ay[1010];
int bx[1010], by[1010];

vector<p> v;

int main(){
	ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
	cin >> n >> m;
	for(int i=0; i<n; i++) cin >> ax[i] >> ay[i];
	for(int i=0; i<m; i++) cin >> bx[i] >> by[i];
	v.reserve(n*m);
	for(int i=0; i<n; i++){
		for(int j=0; j<m; j++){
			v.push_back({ax[i]+bx[j], ay[i]+by[j]});
		}
	}
	swap(v[0], *min_element(v.begin(), v.end()));
	sort(v.begin()+1, v.end(), [&](p &a, p &b){
		int cw = ccw(v[0], a, b);
		if(cw) return cw > 0;
		return dist(v[0], a) < dist(v[0], b);
	});

	vector<p> hull;
	for(auto &i : v){
		while(hull.size() >= 2 && ccw(hull[hull.size()-2], hull.back(), i) <= 0) hull.pop_back();
		hull.push_back(i);
	}
	cout << hull.size() << "\n";
	for(auto &i : hull) cout << i.x << " " << i.y << "\n";
}