AtCoder AGC 037 C번 Numbers on a Circle

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문제 링크

  • https://atcoder.jp/contests/agc037/tasks/agc037_c

문제 출처

  • AtCoder AGC 037 C번

시간복잡도

  • $O(N log N log 10^9)$

풀이

$b$를 $a+b+c$로 바꾸는 연산을 거꾸로 생각하면 $b$를 $b-a-c$로 바꾸는 연산이 됩니다.
$b$를 $b-a-c$로 바꿔가면서 $B$를 $A$로 만들어주는 문제를 생각해봅시다.

$i$번째 원소에 연산을 적용하기 위해서는 $b > a + c and B_i > A_i$를 만족해야 합니다.
추가로, $b > a + c$를 만족한다면 $b$가 아닌 다른 곳에서 연산을 하더라도 a, b, c의 값은 절대 바뀌지 않습니다.

$B_i > A_i$를 만족하는 모든 $i$에 대해, $(B_i, i)$형태로 pair를 구성해서 pq에 들고 다닐 것입니다.
pq의 가장 위에 있는($B_i$가 가장 큰) 원소에서 연산을 할 수 없다면 $A_i = B_i$로 만들 수 없으므로 -1을 출력하면 됩니다.
그렇지 않은 경우에는 $\lfloor B_i / (B_{i-1} + B_{i+1}) \rfloor$번의 연산을 통해 $B_i$를 $B_i$ % $(B_{i-1} + B_{i+1})$ 로 바꿔주면 됩니다.

$x > y$인 경우에는 $x$ % $y ≤ \frac{x}{2}$이므로, pq에서 원소를 꺼낼 때마다 $B_i$는 절반 이하로 줄어들게 됩니다.
그러므로 pq에서 삽입/삭제 연산을 $O(N log 1e9)$번 하고, 매 순간 pq에 있는 원소의 개수는 $N$개 이하이므로 $O(N log N log 10^9)$ 에 문제를 해결할 수 있습니다.

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> p;

int n, m;
int a[202020], b[202020];

int main(){
	ios_base::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
	cin >> n;
	for(int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
	for(int i=0; i<n; i++) cin >> b[i];

	priority_queue<p> pq;
	for(int i=0; i<n; i++) pq.push({b[i], i});

	long long ans = 0;
	while(pq.size()){
		int i = pq.top().second; pq.pop();
		int st =  b[(i+1)%n] + b[(i+n-1)%n];

		if((b[i] - a[i]) % st == 0){
			ans += (b[i] - a[i]) / st;
			b[i] = a[i];
			continue;
		}
		if(st >= b[i]){
			cout << -1; return 0;
		}

		ans += b[i] / st;
		b[i] %= st;
		if (b[i] < a[i]) {
			cout << -1; return 0;
		}
		pq.push({b[i], i});
	}
	cout << ans;
}